Dificultades
ante la resolución de demostraciones y problemas que requieren razonamient=
o:
el caso de estudiantes en formación docente y geometría
Allan Gen Pa=
lma1
& Eric Ricardo Padilla Mora2
<=
span
lang=3DES style=3D'mso-bidi-font-family:Calibri;mso-bidi-theme-font:minor-=
latin;
color:windowtext;mso-ansi-language:ES;text-decoration:none;text-underline:
none'>1.
Encargado=
de
cátedra, Universidad Estatal a Distancia, Sabanilla, Costa Rica; age=
n@uned.ac.cr
<=
span
lang=3DES style=3D'mso-bidi-font-family:Calibri;mso-bidi-theme-font:minor-=
latin;
color:black;mso-themecolor:text1;mso-ansi-language:ES;text-decoration:none;
text-underline:none'>2.
Encargado=
de
cátedra, Universidad Estatal a Distancia, Sabanilla, Costa Rica; epadilla@uned.ac.cr
ABSTRACT<=
/span>: This
article presents the results of a qualitative and descriptive research that
aimed to determine the difficulties that students, in training for mathema=
tics
teachers, of the subject Euclidean Geometry I, present when solving
demonstrations and problems that require reasoning and argumentation. For =
the
study, five items were selected from the first ordinary test of the I quar=
ter
of 2019; The researchers classified the selected exercises and made a prop=
osal
according to their level of difficulty, which was subjected to review and
evaluation by experts. Furthermore, the analysis was carried out based on =
two
tables that allowed the information to be summarized: one for the items
related to manifestations. and the other by reasoning, inventiveness and
argumentation.
Regarding the demonstrations, it was determined t=
hat
they were able to recognize the hypotheses, definitions, postulates and
theorems that allowed them to solve them, but they were not able to establ=
ish
the logical inferences between them to correctly justify what was requeste=
d.
Regarding the exercises that require reasoning and argumentation, it was
evident that students presented greater difficulties, and that they genera=
lly
used auxiliary elements that contributed little to the solution. The design
and development of resources that contribute to the solution of the situat=
ions
encountered is recommended, specifically, the implementation of pedagogical
workshops with students is recommended.
Key words: educatio=
n,
teaching and training in Mathematics, vocational training, geometry,
mathematical demonstration, learning difficulties.
RESUMEN: En este artículo se exponen los
resultados de una investigación de tipo cualitativa y descriptiva que tuvo=
por
objetivo determinar las dificultades que presenta el estudiantado, en
formación para profesores de matemática, en la asignatura geometría euclíd=
ea
I, al resolver demostraciones y problemas que requieran para su solución d=
el
razonamiento y la argumentación. Para el estudio se seleccionó cinco ítems=
de
la primera prueba ordinaria del I cuatrimestre del 2019; los investigadores
clasificaron los ejercicios seleccionados y realizaron una propuesta según=
su
nivel de dificultad la cual se sometió a revisión y valoración por experto=
s,
además, el análisis se realizó a partir de dos tablas que permitieran resu=
mir
la información: una para los ítems relacionados con demostraciones y la ot=
ra
para los de razonamiento, inventiva y argumentación.
En cuanto a las demostraciones se
logró determinar que si logran reconocer las hipótesis, definiciones,
postulados y teoremas que le podrían permitir resolverlas, pero no logran
establecer las inferencias lógicas entre ellas para lograr justificar de f=
orma
correcta lo solicitado. Respecto a los ejercicios que requieren razonamien=
to y
argumentación, se logró evidenciar que los estudiantes presentan mayores
dificultades, y que por lo general emplean elementos auxiliares que poco
contribuyen con la solución. Se recomienda el diseño y elaboración de recu=
rsos
que ayuden con la solución de las situaciones encontradas, específicamente=
, se
recomienda la implementación de talleres pedagógicos con los estudiantes.<=
/span>
Palabras clave: educación, enseñanza y formación en Matemática, formación
profesional, geometría, demostración matemática, dificultad en el aprendiz=
aje.
En la discusión de la demostración d=
e un
enunciado matemático el alumno debe poner en práctica el correcto leguaje =
oral
y escrito, debe a la vez ordenar cada una de sus proposiciones de una mane=
ra
lógica y coherente y debe poder discernir de una manera satisfactoria la
diferencia entre verdad absoluta y relativa. (p. 239)
… debe cultivarse de una manera grad=
ual,
primero acudiendo a formas verbales, luego escritas y más tarde simbólicas.
Así mismo, se deben ir introduciendo poco a poco las formas de razonamiento
por contradicción, inducción, uso de contraejemplos y las diferentes forma=
s de
la deducción. (MEP, 2012, p. 56)
Se comenzará por realizar conjeturas=
, luego
se procederá, en una primera etapa, a su verificación a través del
cumplimiento en casos particulares (debe quedar completamente claro que la
verificación de casos particulares hace más creíble la conjetura, pero que=
no
demuestra la propiedad que se propone), luego se desarrollará la argumenta=
ción
(en una segunda etapa) y finalmente la demostración de algunas de las
conjeturas en una última etapa. (MEP, 2012, p. 318)
Dominio cognoscitivo: Analiza las
demostraciones de teoremas, lemas, corolarios, así como de otros resultados
propios de la Matemática.
Dominio procedimental: Aplica las
definiciones, axiomas, teoremas y algoritmos, entre otros resultados
matemáticos, al realizar demostraciones.
Dominio afectivo: Valora la importan=
cia de
las demostraciones en el contexto de la matemática, valora el proceso de
descubrimiento y construcción de los conceptos matemáticos, aprecia la
cognición estética de los modelos matemáticos en las distintas áreas y val=
ora
la importancia del formalismo y la rigurosidad propia de la matemática.
=
=
(UNED, 2019, pp. 94-95)
Por lo general no comprenden las
demostraciones que se brindan en los materiales didácticos y libros de tex=
to.
Esto se ha logrado evidenciar, principalmente, a partir de los comentarios
realizados en las tutorías y en la atención vía teléfono, dentro de los que
destacan:
•&n=
bsp;
Las
demostraciones que vienen en el material no las entiendo.
•&n=
bsp;
No
comprendo cómo hacen para organizar las ideas en cada uno de los pasos de =
esas
demostraciones.
•&n=
bsp;
¿Los
ejercicios de demostraciones hay que hacerlos? Es que no se ni cómo
empezarlos.
•&n=
bsp;
¿Cómo
se hace para saber cuál método es el que se debe emplear en la demostració=
n?
•&n=
bsp;
¿Las
demostraciones entran en el examen? Es que son muy difíciles y no sé cómo
hacerlas.
(Encargados de cátedra y profesores =
tutores
de la carrera enseñanza de la Matemática, comunicaciones personales, 18 de
junio 2019)
Además, señalan que:
En las tareas, pruebas escritas, tal=
leres y
actividades en la plataforma, cuando los estudiantes resuelven problemas de
tipo demostrativo, por lo general: no comprenden el enunciado, no logran
concatenar las ideas de forma lógica y coherente, no los resuelven de forma
correcta, los dejan incompletos, tienen errores de simbología (uso incorre=
cto
o bien la omiten), no hay coherencia en cuanto a los argumentos que emplea=
n,
no pueden justificar de forma correcta o bien los dejan en blanco.
Esto también sucede con aquellas
situaciones, ítem o problemas en los cuales, para su solución, se requiere=
del
empleo del razonamiento, la inventiva o bien argumentar.
(Encargados de cátedra y profesores =
tutores
de la carrera enseñanza de la Matemática, comunicaciones personales, 18 de
junio 2019)
En esta asignatura se busca que el
estudiante adquiera los conocimientos básicos de la Geometría Euclídea tal=
es
como rectas, planos, figuras planas, congruencias, semejanzas y otros. Ade=
más,
se pretende que logre comprender demostraciones de proposiciones y teorema=
s,
que el estudiante mismo realice demostraciones sencillas relativas a conce=
ptos
geométricos y que a través de ellos comprenda la importancia de esta
disciplina en el desarrollo de la Matemática como sistema axiomático.
=
=
(UNED, 2019, p. 133)
·
Determinar
las dificultades que presentan, con mayor frecuencia, los estudiantes de la
asignatura geometría euclídea I ante la resolución de demostraciones.
·
Determinar
las dificultades y errores que presentan, con mayor frecuencia, los
estudiantes de la asignatura geometría euclídea I ante la resolución de
problemas en los cuales se requiere del razonamiento, la inventiva y la
argumentación.
·
Realizar
un análisis didáctico a las soluciones propuestas por algunos de los
estudiantes de la asignatura geometría euclídea I al realizar demostracion=
es y
ante la solución de problemas en los cuales se requiere del razonamiento, =
la
inventiva y la argumentación.
Son d=
iversos
los investigadores que han realizado estudios sobre la demostración en
Matemática, entre ellos: Fetichov (1980), Fischbein (1980), Balacheff (1987 y 2008), Godino y =
Recio
(2001), Sanabria (2006), Hanna y De Villiers (=
2012),
Fiallo et al. (2013) y Bailera y Oller (2017).=
En cu= anto a la importancia de la demostración y de su enseñanza el material propuesto por Hanna y De Villiers (2012) en el contexto de e= ste estudio es pertinente, esto por abordar la temática desde la posición de diversos especialistas e investigadores; en el= se tratan temas como: el desarrollo cognitivo de la demostración, la percepci= ón de la demostración, los teoremas como visiones constructivas, la demostrac= ión en Educación Matemática, demostración y cognición, perspectivas históricas= y educativas de la demostración, la demostración en el currículo escolar, argumentación y transición al nivel terciario, entre otros. A partir del trabajo de estos investigadores se pudo determinar que el concepto de demostración y el realizar demostraciones no se le da muy bien a los estudiantes en todos los niveles, y que por lo general estos se enfrentan a una situación problemática cuando tiene que resolver un problema que no pu= ede ser resuelto de forma rutinaria con su conocimiento actual, lo cual es muy frecuente cuando se trata de demostraciones.
Ademá= s, lograron determinar que los estudiantes generalmente no ven ninguna razón = real para desarrollar una prueba en el contexto de actividades particulares que requieren una prueba (desde un punto de vista matemático), lo cual refleja= una carencia de apreciación de lo que representa y es una demostración y que tienen algunos conceptos erróneos profundamente arraigados sobre lo que significa validar afirmaciones matemáticas como, por ejemplo: las generalizaciones.
Otro = aporte considerable, en el ámbito de la demostración, es el realizado por Fiallo = et al. (2013), en el cual se realiza una recopilación bibliográfica de los principales proyectos relacionados con su enseñanza y su aprendizaje. De acuerdo con los investigadores, el objetivo del estudio fue aportar fuente= s de consulta a la comunidad de educadores en matemáticas interesados en el tem= a. Esto lo hacen a partir de una estructura que incluye diversas líneas de investigación tales como: consideraciones histórico-epistemológicas, la demostración en el currículo, concepciones y dificultades de los estudiant= es al demostrar, relaciones entre argumentación y demostración, y propuestas didácticas para la enseñanza de la demostración.
En su indagación Fiallo et al. (2013, p. 182) lograron encontrar 14 investigacio= nes relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la demostración en el dominio de la geometría euclidiana, varias de ellas apoyadas en el uso de programas informáticos de geometría dinámica, cinco en teoría de números, = tres en álgebra y una en razonamiento probabilístico. Además, indican que en añ= os recientes han surgido corrientes respecto a las concepciones de los profes= ores sobre la demostración y sus competencias en el proceso de demostrar, así c= omo respecto al aprendizaje de la demostración visualizado como una práctica sociocultural, la cual se lleva a cabo y se condiciona por la comunidad en= la que se realiza, sin embargo, concluyen que:
… es indispensable hacer mayores esfuerzos de divulgación d= e la investigación sobre el tema, pues aún persisten serias dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de la demostración en todos los niveles educati= vos, pero principalmente en la formación de maestros. Es asunto que debe atende= rse de manera urgente, pues las experiencias académicas de los futuros educado= res influyen de marcada manera en la importancia con la que asuman la enseñanz= a de la demostración en la escuela.
(= Fiallo et al, 2013, pp. 198-199)
En Ma= temática, una de las tantas áreas en la cual la demostración se convierte en una pot= ente herramienta para comprender e interiorizar los conceptos, axiomas, teorema= s y lemas es la geometría, dado que “… generalmente, esta disciplina inicia co= n la definición de algunos elementos básicos, se definen postulados y, a partir= de ellos, se establecen argumentos que puedan validar ciertos resultados llam= ados teoremas…” (Padilla & Rojas, 2017, p. 8) y de acuerdo con Fetísov (1980, como se citó en Morales & Samper,= 2015)
… existe otra razón más extraordinariamente importante que condiciona la necesidad de la demostración. Se trata de que la geometría n= o es una colección casual de verdades que definen propiedades espaciales de los cuerpos, sino un sistema científico construido de acuerdo con leyes riguro= sas. En este sistema cada teorema está relacionado orgánicamente con un conjunt= o de proposiciones antes establecidas y esta relación se pone de manifiesto por medio de la demostración. (pp. 56-57)
Ademá= s, es un área en la cual la visualización, la creatividad, la inventiva, el estable= cer conjeturas y el realizar demostraciones, entre otras habilidades, tienen un rol preponderante, no obstante, a pesar de esto, en las investigaciones desarrolladas en el contexto de la demostración y la geometría se señala q= ue los estudiantes presentan diversas dificultades. Específicamente en el áre= a de la geometría euclidiana, de acuerdo con los estudios de Perry et al. (2006, como se citó en Morales & Samper, 2015), y el de Morales y Samper (201= 5), estas pueden ser agrupadas en:
1.&= nbsp; Dificultades al trabaj= ar dentro de un sistema axiomático.
-&n= bsp; Al formular bien las definiciones.
-&n= bsp; Ser consciente que se = deben cumplir las condiciones exigidas en las hipótesis del teorema que va a emplear.
-&n= bsp; Respaldar, en función = del sistema teórico, cualquier afirmación que realice.
2.&= nbsp; Dificultades con el us= o de la lógica matemática como guía y sustento del razonamiento requerido para producir una justificación.
-&n= bsp; El estudiante, general= mente, no tiene el conocimiento conceptual y procedimental de las conectivas lógi= cas y de las tautologías asociadas.
-&n= bsp; No sabe hacer pruebas indirectas.
-&n= bsp; Establecer las condici= ones válidas en el enunciado, incluso de las tácitas.
3.&= nbsp; Dificultades relaciona= das con los prerrequisitos de aritmética de los reales, álgebra o teoría de conjuntos.
-&n= bsp; Aplicar correctamente = las propiedades de los números reales.
-&n= bsp; Empleo correcto de las relaciones de igualdad.
-&n= bsp; Empleo correcto de las desigualdades.
-&n= bsp; El uso incorrecto del principio de sustitución.
-&n= bsp; Errores con el empleo = de la sintaxis de la teoría de conjuntos en la formulación de los enunciados par= a hacerlos operativos.
4.&= nbsp; Dificultades relaciona= das con la comprensión y el manejo del enunciado de un teorema.
-&n= bsp; No comprenden el enunc= iado de un teorema.
-&n= bsp; No reconocen que es lo= que se debe demostrar.
-&n= bsp; Expresar como proposic= ión condicional una afirmación formulada en lenguaje natural.
-&n= bsp; Empleo incorrecto del lenguaje icónico propio de la geometría.
Asimi= smo, en el contexto de la resolución de problemas relacionados con la geometría euclidiana, el estudio realizado por Radillo (2011) permitió realizar una clasificación de los errores cometidos por los estudiantes en: de representación, deductivos o de razonamiento y axiomáticos o de aplicación= de teoría y los describe como:
(a) de representación, ya sea verbal, gráfica y/o simbólica= , así como los procesos de traducción entre éstas; (b) deductivos o de razonamie= nto, en cuanto a la lógica seguida para solucionar un problema dado; (c) axiomáticos o de aplicación de teoría, relativos a la disponibilidad funci= onal de los conocimientos previos necesarios para resolver el problema. El prim= er tipo de error corresponde al factor lingüístico y los dos últimos a las características esenciales de la materia. (p. 2)
La investigación se ubica dentro =
del
enfoque cualitativo y es de tipo descriptiva, dado que se busca determinar=
las
dificultades y los errores que presentan, con mayor frecuencia, los
estudiantes de la asignatura geometría euclídea I al realizar demostracion=
es y
ante la resolución de problemas en los cuales se requiere del razonamiento=
, la
inventiva y la argumentación. Además, como parte del proceso se realizó un
análisis didáctico de los procedimientos efectuados por algunos de los
estudiantes al enfrentarse a este tipo de situaciones. En relación al térm=
ino
análisis didáctico de acuerdo con Rico (2013) lo define de la siguiente
manera:
… un
método de investigación propio de la Didáctica de la matemática, que se
sustenta en la historia, en la propia matemática, en la filosofía del
conocimiento y de la educación, que utiliza técnicas y métodos del análisis
conceptual y del análisis de contenido. Son objeto del análisis didáctico
aquellos conceptos, conocimientos, normas, juicios, argumentos, textos y
relatos que tienen su origen en la actividad propia de la comunidad de
educadores matemáticos, textos que se ajustan a su organización y que regu=
lan
su práctica. (p. 19)
Para el estu=
dio
se seleccionó la asignatura geometría euclídea I, y la primera prueba
ordinaria del I cuatrimestre del 2019.
Cabe señalar que es de las primeras materias en las cuales los estudiantes,
que cursan el plan de estudio de la carrera Enseñanza de la Matemática, se
enfrentan desde la concepción lógica formal y para la formación docente, c=
on
las demostraciones. Por lo que se pretende obtener información que permita=
ir
trabajando en el diseño de estrategias que contribuyan a subsanar las
dificultades y los errores encontrados.
1. Nivel de dificultad bajo: situaciones o
problemas en los cuales para su solución requieren el empleo de: a)
definiciones y axiomas básicos de geometría, b) teoremas básicos de geomet=
ría,
y c) cálculos aritméticos.
2=
. Nivel de dificultad medio:
situaciones o problemas en los cuales para su solución requieren el empleo=
de:
a) definiciones y axiomas básicos de geometría, b) teoremas básicos de
geometría, c) establecer relaciones entre las definiciones, axiomas y los =
teoremas
que emplea, d) interrelaciones entre diversas áreas: por ejemplo, geometrí=
a,
álgebra y aritmética, y e) elementos o recursos
auxiliares (por ejemplo: construcciones o dibujos), los cuales no son
indispensables.
A partir de esta propuesta los investigadores clasificaron los
ejercicios seleccionados, y la sometieron a revisión y valoración por cinco
expertos en enseñanza de la Matemática, quienes en su momento realizaron
observaciones y mejoras. En la tabla 1 se muestra la clasificaci=
ón
de los ítems según nivel.
Tabla 1
Clasificación de los ítems según nivel de
dificultad
|
Nivel=
|
|
Enunciado |
|
|
|
Bajo |
Respu=
esta
breve Ítem 2 |
Sean =
|
||
|
Respu=
esta
breve Ítem 3 |
Consi=
dere
|
|||
|
Respu=
esta
breve Ítem =
7 |
Demue=
stre
que los ángulos iguales de un triángulo isósceles son agudos. |
|||
|
Medio |
Respu=
esta
breve Ítem =
1 |
Los
puntos <=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-se=
rif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-far=
east-theme-font:
minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times=
New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-font-kerning:0pt;mso-ligatures:none;
mso-ansi-language:ES-CR;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-=
SA'> Halla=
r <=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-se=
rif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-far=
east-theme-font:
minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times=
New Roman";
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;position:relative;top:4.5pt;mso-text-rais=
e:
-4.5pt;mso-font-kerning:0pt;mso-ligatures:none;mso-ansi-language:ES-CR;
mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language:AR-SA'> |
||
|
Alto |
Desar=
rollo Ítem =
1 |
Demue=
stre
que si |
||
<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:11.0pt;line-height:115%;mso-b=
idi-font-family:
Calibri;mso-bidi-theme-font:minor-latin'>Fuente: elaboración propia con base en la
prueba escrita aplicada (2019).
Ade=
más,
para el análisis de cada uno de los ítems y tomando como referencia las
dificultades que se señalaron en el referente teórico, se construyeron dos
tablas que permitieran resumir la información de las 23 pruebas escritas. =
La
primera sería utilizada para analizar los ítems relacionados con
demostraciones, mientras que la otra estaría diseñada para el análisis de =
los
relacionados con razonamiento, inventiva y argumentación, ambas se muestra=
n en
el siguiente apartado de discusión de resultados con el nombre de tabla 2 y
tabla 3 respectivamente.
El análisis se fundamentó en los d=
atos
obtenidos en cada una de las tablas y, además, se estudiará el proceso
realizado por los estudiantes al resolver alguno de los ítems, el cual
permitirá ampliar y profundizar sobre algún dato o aspecto específico, con =
el
objetivo de intentar comprender qué es lo que ha realizado.
Respecto a los ítems de demostración
En la
tabla 2 se muestran los criterios por analizar y los resultados obtenidos p=
ara
cada uno de ellos.
Tabla 2
Info=
rmación
obtenida respecto a los ítems relacionados con demostración.
|
Criterio |
|
R.B. 2 |
R.B. 7 |
D. 1 |
|
Emplea
elementos auxiliares al resolver la demostración. |
|
14 |
14 |
16 |
|
Los
elementos auxiliares que emplea están relacionados con lo que debe demost=
rar. |
|
10 |
13 |
16 |
|
Traduc=
e de
forma correcta el lenguaje matemático. |
|
19 |
15 |
18 |
|
Se
evidencia que reconoce las hipótesis de la demostración. |
|
20 |
16 |
23 |
|
Separa=
o
enuncia las hipótesis en la demostración. |
|
19 |
12 |
14 |
|
Se
evidencia que comprende lo que se debe demostrar. |
|
19 |
14 |
12 |
|
Logra
determinar las definiciones y axiomas que le permitirán resolver la
demostración. |
|
18 |
14 |
19 |
|
Logra
interrelacionar las definiciones y axiomas en la propuesta de demostració=
n. |
|
18 |
14 |
15 |
|
Logra
determinar los teoremas que le permitirán realizar la demostración. |
|
18 |
15 |
15 |
|
Logra
interrelacionar los teoremas en el proceso de demostración. |
|
18 |
14 |
15 |
|
Verifi=
ca
que se cumplen las condiciones exigidas en las hipótesis del teorema que =
va a
emplear. |
|
18 |
13 |
14 |
|
Justif=
ica
correctamente cada uno de los procesos realizados. |
|
18 |
13 |
12 |
|
Emplea=
de
forma correcta el lenguaje simbólico e icónico propio de la geometría. |
|
19 |
13 |
15 |
|
Las
conclusiones que establece son correctas. |
|
18 |
13 |
11 |
|
Logra
demostrar lo solicitado. |
|
18 |
13 |
9 |
De a=
cuerdo
con los datos en la tabla, se puede afirmar que el ítem R.B. 2 no presentó
dificultad para los estudiantes, pero el R.B. 7 y el de desarrollo sí. En l=
os
dos que tuvieron dificultades se destacan aspectos como: se les dificulta
separar o enunciar las hipótesis y no comprenden lo que se debe demostrar, =
si bien en algunos casos reconocen=
las
definiciones, axiomas y teoremas que podrían emplear en la demostración no
logran establecer las relaciones de forma coherente y lógica, no
justifican correctamente cada uno de los procesos realizados, realizan
inferencias y conclusiones que no son correctas y en el caso de la demostra=
ción
D. 1, 60,8% de la muestra no logra demostrar lo solicitado.
En l=
os
ejemplos 1 y 2 se muestra y analiza lo realizado por dos de los estudiantes=
de
la muestra respecto a los ítems R. B. 7 y D. 1.
Análisis didáctico: en=
este
caso el estudiante emplea una figura auxiliar (destacamos que es la figura
clásica que emplean los estudiantes para referirse a un triángulo isósceles=
),
logra plantear las hipótesis y teoremas que le permiten resolverlo, pero ol=
vida
colocar el símbolo de grados en los pasos 1, 4 y 5 aunque sí lo coloca en l=
os
pasos 6 y 7. Además, llega a una
conclusión incorrecta en el paso numerado por él como 4 producto de un erro=
r de
despeje, dado que pasa el 2 que aparece al inicio del paso 3 a dividir a 18=
0°.
La argumentación en el paso 5 no es correcta.
Análisis didáctico: el
estudiante B recurre a una figura auxiliar pero no la aprovecha al máximo,
escribe las hipótesis, algunas definiciones y postulados que al justificar =
de
forma lógica le permitirán resolver el problema, pero no lo hace en el paso=
4
si bien es correcto lo que indica, no lo concatena con las ideas que viene
trabajando ni con la figura auxiliar. No trabaja aspectos sobre la unicidad=
.
Dos
aspectos por destacar para estos dos ítems es que, si bien la mayoría de los
estudiantes reconocen las hipótesis, las definiciones, postulados y teoremas
que podrían emplear en la solución, tienen dificultad para establecer las
relaciones entre ellos, así como argumentar de forma correcta, concatenar l=
as
ideas de forma lógica y lograr realizar la demostración. También, se logró
determinar que si en el enunciado contiene solo texto tienen problemas para
comprender lo que deben demostrar, pero si este presenta alguna simbología =
esto
les favorece, tal como se logró evidenciar con el ejercicio R. B. 2.
Respecto
a los problemas relacionados con razonamiento, inventiva y cálculo numérico=
.
En la tabla 3 se muestran los
criterios por analizar para los dos ítems, así como los resultados obtenido=
s.
Tabl=
a 3
Info=
rmación
obtenida respecto a los ítems relacionados con razonamiento, inventiva y
cálculo numérico.
|
Criterio |
|
R.B. 1 |
R.B. 3 |
|
Emplea
elementos auxiliares para resolver el ejercicio. |
|
17 |
18 |
|
Los
elementos auxiliares que emplea podrían contribuir con la solución. |
|
14 |
11 |
|
Se
evidencia que comprende lo que debe resolver. |
|
5 |
12 |
|
Logra
determinar las definiciones y axiomas que le permitirán resolver el
ejercicio. |
|
11 |
0 |
|
Logra
interrelacionar las definiciones y axiomas en la resolución del ejercicio=
. |
|
4 |
0 |
|
Las
sustituciones que realiza son correctas. |
|
5 |
4 |
|
Los
cálculos realizados contribuyen con la solución del ejercicio. |
|
3 |
4 |
|
Los
cálculos realizados están correctos. |
|
3 |
5 |
|
Los
procedimientos que emplea son matemáticamente correctos. |
|
3 |
3 |
|
Hace u=
so
correcto de la simbología en el proceso de solución. |
|
4 |
7 |
|
Logra
resolver el ejercicio correctamente. |
|
1 |
3 |
Nota: se utiliza la simbología R.B. pa=
ra
referirse a los ítems de respuesta breve.
Fuente: elaboración propia con base en
referentes teóricos y datos de las pruebas escritas (2019).
En la tabla 3 se destaca que en am=
bos
ítems la mayoría de los estudiantes emplean elementos auxiliares, y de acue=
rdo
con lo que realizan se infiere que hacen una correcta interpretación geomét=
rica
del enunciado, por ejemplo: representan un segmento o bien una recta, asign=
an
un orden apropiado a los puntos y respectan el orden de colinealidad. En el
caso del R.B. 1 intentan que visualmente que se aprecie como el punto medio del segmento =
, sin embargo, no tienen claro ni
comprenden qué es lo que deben resolver. Aunque este ítem fue clasificado de
dificultad media únicamente 4,3% de la muestra logró resolverlo correctamen=
te.
Además, en ambas situaciones, los
estudiantes, no logran interrelacionar las definiciones y axiomas que deben
utilizar, los cálculos realizados no contribuyen con la solución de la
situación planteada o bien no son correctos, los procedimientos que emplea =
no
son matemáticamente correctos ni el uso que hacen de la simbología en el
proceso de solución.
A continuación, se muestran dos
ejemplos de lo realizado por los estudiantes en el R.B. 1 junto con el anál=
isis
respectivo.
Análisis didáctico: se
emplean elementos auxiliares y estos satisfacen las condiciones del enuncia=
do;
no obstante, asume relaciones de igualdad que no son correctas, por ejemplo=
, si
bien
no es correcto que
, y es sobre lo que trabaja en la
solución. Para este ítem solo 21,7% de la muestra hace sustituciones correc=
tas.
Análisis
didáctico: en este caso el estudiante emplea varios elementos auxiliare=
s,
algunos de ellos cumplen con las condiciones que se dan en el enunciado, no
obstante, realiza marcas y anotaciones auxiliares, que no son correctas; por
ejemplo, sobre los segmentos y
efectúa una “traslación” de estos y
manteniendo la misma longitud les asigna por medida
y
respectivamente, esto permite inferir que
confunde el concepto de segmento con el de longitud de segmento. De acuerdo=
con
la figura, se concluye que no tiene conocimiento de cómo resolver el ejerci=
cio.
Otro detalle importante para este ítem es que, por lo general, no emplean la
simbología de forma correcta, además, el símbolo “=3D” o bien el de implica=
, en
la mayoría de los casos, los omiten.
En c=
uanto
al problema R.B. 3 aunque un alto porcentaje de la muestra emplea elementos
auxiliares, en algunos casos no están relacionados con lo que se debe
demostrar, el porcentaje de los que lograron resolverlo correctamente aumen=
tó
respecto al R.B. 1 se considera que para el R.B. 3 tampoco es tan
satisfactorio. Un ejemplo de lo realizado por los estudiantes se muestra a
continuación.
Análisis didáctico: en=
este
caso el estudiante emplea elementos auxiliares, no obstante, coloca el punt=
o
como si fuera el punto medio del segment=
o
, lo cual es incorrecto, dado que =
, esta situación también se pudo
apreciar en otras de las pruebas de la muestra. Además, en este caso para
determinar la distancia de
, lo que hace es considerar que
lo cual es incorrecto. Debe considerarse=
que
no se emplea la definición de punto medio, y es una de las condiciones que =
se
indican en el enunciado.
En cuanto a las situaciones
relacionadas con demostraciones se logró determinar que los estudiantes tie=
nen
dificultades para resolverlas, sobre todo si el enunciado no contiene
simbología. Aunque logran reconocer las hipótesis, definiciones, postulados=
y
teoremas que le podrían permitir resolver la demostración, no consiguen
establecer las inferencias lógicas entre ellos para lograr justificar de fo=
rma
correcta lo solicitado, esto coincide con lo que habían señalado los profes=
ores
que imparten dicha asignatura y lo establecido en los referentes,
específicamente, a la dificultad con el uso de la lógica matemática como gu=
ía o
sustento del razonamiento requerido para producir una justificación.
Además, se logró determinar que en
algunos casos no emplean de forma correcta el lenguaje simbólico e icónico
propio de la geometría. Si bien esto no fue en toda la muestra es un aspecto
que deberá trabajarse aún más en los diversos materiales, recursos y espaci=
os
de interacción que se brindan desde la cátedra y la universidad.
Respecto a los ejercicios relacion=
ados
con razonamiento, inventiva y argumentación se puede destacar que si bien
emplean elementos auxiliares por lo general al pasar los datos a la figura =
los
colocan de forma arbitraria sin hacer ninguna reflexión sobre dicha
información, y por lo general no comprenden lo que deben resolver, además, =
se
les dificulta determinar qué es lo que podrían emplear para solucionar el
problema, así como establecer las inferencias y conexiones lógicas para
justificar los pasos. Tienen errores de prerrequisitos como: aplicar
correctamente propiedades de los números reales y las relaciones de igualda=
d,
hacen uso incorrecto de la simbología propia de la geometría como del álgeb=
ra,
por ejemplo, omiten los símbolos de igual y de implicación o bien los emple=
an
de forma incorrecta. Se determinó que en este tipo de ítem los estudiantes
tuvieron más dificultades lo cual conllevó a que no los logran resolver de
forma correcta.
Es importante investigar y trabajar
sobre el diseño de estrategias que contribuyan con la inserción de la
demostración en los procesos de enseñanza y de aprendizaje, principalmente,=
a
partir de la generación de interrogantes, motivando la argumentación, el
planteamiento de problemas y generación de desafíos tanto de la Matemática =
como
de otras disciplinas, de manera tal que sea un proceso orientado y gradual,
hasta llegar a que los estudiantes puedan enfrentarse a las mismas.
Para el caso de los futuros
estudiantes de la asignatura geometría euclídea I, en la Universidad Estata=
l a
Distancia, es necesaria la implementación de actividades que le permitan ir
fortaleciendo las habilidades propias del acto de demostrar y del empleo del
razonamiento, inventiva y argumentación. Se considera oportuno ofrecerles
espacios como talleres en los cuales se oriente y trabaje el proceso de
resolución de situaciones que requieran de análisis, donde el justificar y
argumentar sea fundamental, lo cual podría ser una posible estrategia a emp=
lear
por ellos durante su ejercicio profesional.
Se
recomienda continuar con el desarrollo de estos trabajos de investigación en
otras asignaturas de manera que se puedan determinar cuáles son las princip=
ales
dificultades que tienen los estudiantes, y así diseñar estrategias de soluc=
ión
de forma muy puntual y acorde a las necesidades y particularidades de cada =
una.
Balacheff, N. (1987). Processus de
Balacheff, N. (2008). The role of the
researcher’s epistemology in mathematics education: an essay on the case of
proof. ZDM International Journal on Mathematics Education, 40(3),
501-512. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01675739/document
Bailera, A. & Oller, A. (2017). Forma=
ción
del Profesorado y Demostración Matemática. Estudio Exploratorio e
Implicaciones. Bolema, Rio Claro (SP)=
,
31(57), 135-157.
https://www.scielo.br/pdf/bolema/v31n57/0103-636X-bolema-31-57-0135.pdf
Cabassut, R., Conner, A., İş=
;çimen,
F. A., Furinghetti, F., Jahnke, H. N. &
tps://doi.org/10.1007/978-94-007-2129-6_7
Fiallo,
J., Camargo, A. & Gutiérrez, A. (2013). Acerca de la enseñanza y el
aprendizaje de la demostración en matemáticas. Revista Integración Escue=
la
de Matemáticas Universidad Industrial de Santander, 31(2), 181–205.
http://www.scielo.org.co/pdf/rein/v31n2/v31n2a07.pdf
Fischbein, E. (1980). Intuition and Pr=
oof.
4th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics
Education at Berkeley.
https://flm-journal.org/Articles/3C2FDFF14268CD1E813E785AD584E4.pdf
Godino,
J. & Recio, A. (2001). Significados institucionales de la demostración.
implicaciones para la educación matemática. Enseñanza de las ciencias,
19(3), 405-414. https://core.ac.uk/download/pdf/38990678.pdf
Hanna,
G. & De Villier, M., (2012). Proof and proving in Mathematics Education.
https://library.oapen.org/bitstream/handle/20.500.12657/48201/1/97894007212=
96.pdf#page=3D25
Ministerio
de Educación Pública. (2012). Programas de Estudio de Matemáticas. I, II=
y
III Ciclos de la Educación General Básica y Ciclo Diversificado. San Jo=
sé:
Ministerio de Educación Pública.
https://www.mep.go.cr/sites/default/files/programadeestudio/programas/matem=
atica.pdf
Morales,
S. & Samper, C. (2015). Dificultades en el aprendizaje de la
demostración deductiva formal en geometría euclídea. AMAZONIA
Investiga, 4(6). 55-68. https://www.google.com/url?sa=3Dt&rc=
t=3Dj&q=3D&esrc=3Ds&source=3Dweb&cd=3D&ved=3D2ahUKEwjG1=
rScssbsAhXBxVkKHSKtCcEQFjAAegQIAxAC&url=3Dhttps%3A%2F%2Famazoniainvesti=
ga.info%2Findex.php%2Famazonia%2Farticle%2Fdownload%2F685%2F645%2F&usg=
=3DAOvVaw0CQri6wLLsVccTcw-VmPz-
NCTM.
(2003). Principios y estándares para la educación matemática, Socied=
ad
Andaluza de Educación Matemática. Thales. Sevilla, España.
Ortiz,
H. & Jiménez, F. (2006). La demostración elemento vivo en la didáctica =
de
la Matemática. Scientia et Technica,
31, 237-240. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4830598.pdf
Padilla,
E. & Rojas, E. (2017). Geometría Euclídea y su didáctica en educación
primaria. Editorial: EUNED. ISBN: 978-9968-48-336-0.
Radillo,
M. (2011). Obstáculos y errores en =
el
aprendizaje de la geometría euclideana, relacio=
nados
con la traducción entre códigos del lenguaje matemático, en el nivel
licenciatura.
http://funes.uniandes.edu.co/4835/1/RadilloObstaculosALME2011.pdf
Rico,
L. (2013). El método del Análisis Didáctico. Revista Iberoamericana de
Educación Matemática, 33, 11-27.
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2013/33/ARCHIVO6.pdf
Sanabria,
G. (2006). Propuesta sobre la
enseñanza de la demostración de implicaciones. Revista Digital
Matemática Educación e Internet. 1-14.
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/propuestas-didacticas-em/v7n=
1-jun2006/
Universidad
Estatal a Distancia, UNED. (2019). Bachillerato y licenciatura en enseña=
nza
de la Matemática. Manuscrito no publicado.