Diseño de material didáctico para la
enseñanza de la función lineal y la función cuadrática.
José Luis
Morales Reyes1, Marianela Alpízar Vargas2, Steven
Quesada Segura3 & Hazel Fernández Álvarez4
1.
Académico,
Universidad Nacional, Heredia, Costa Rica; jose.morales.reyes@una.cr
2.=
Académica,
Universidad Nacional, Heredia, Costa Rica; marianela.alpizar.vargas@una.ac.cr<=
/a>
3.=
Profesor,
Ministerio de Educación Pública, San José, Costa Rica; steven_09_11@hotmail.com
4.=
Profesora,
Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnología, San José, Costa Rica=
; hazelgt17@hotmail.com
ABSTRACT: This paper reports the process of
design and analysis of didactic material. The design was based on qualitat=
ive
design research and was supported by theoretical and methodological aspect=
s of
Didactic Analysis. Some data sources used were interviews with experts,
questionnaires for teachers and students, and the Mathematics Study Progra=
ms
of the Ministry of Public Education of Costa Rica. As a result, nine tasks=
on
a linear function and eight on a quadratic function were developed and
analyzed. These tasks were analyzed according to different variables, such=
as
the systems of representation, the preferred thinking processes, the level=
of
complexity, the difficulties and the possible mistakes that can be made in
their solution. The development of teaching materials that promote
mathematical skills requires an articulation between the different variabl=
es
present in the tasks; particularly, it demands the presence of diverse
mathematical thought processes and different levels of complexity. In
addition, although the complete process of the foundations is extensive, t=
he
teachers can develop the phases separately and they can complement them in
other academic courses.
Key words: didactic analysis, task analysis, curriculum, mathematical compete=
nce.
Este escr=
ito
reporta el proceso de diseño y análisis de un material didáctico. El diseñ=
o se
sustentó con aspectos teóricos y metodológicos del Análisis Didáctico y
responde a una investigación cualitativa de diseño. Algunas fuentes de dat=
os
utilizadas fueron: entrevistas a expertos, cuestionarios al profesorado y =
al
estudiantado y los Programas de Estudio de Matemática del Ministerio de
Educación Pública de Costa Rica. Como resultados se elaboraron y analizaron
nueve tareas sobre función lineal y ocho para función cuadrática. Estas ta=
reas
se analizaron según distintas variables, entre ellas: sistemas de
representación, procesos de pensamiento favorecidos, nivel de complejidad,
dificultades y posibles errores que se pueden cometer en su resolución. La
elaboración de materiales didácticos, que promuevan habilidades matemática=
s,
requiere de una articulación entre las distintas variables presentes en las
tareas; particularmente, demandan de la presencia de los diversos procesos=
de
pensamiento matemático y de distintos niveles de complejidad. Además, aunq=
ue
el proceso completo de fundamentación es extenso, el profesorado puede ir
desarrollar las fases por separado e ir complementándolas en otros cursos
lectivos.
Palabras clave: análisis
didáctico, análisis de tareas, currículo, competencia matemática.
Los camb=
ios
curriculares que se han experimentado, en los últimos años, en países
latinoamericanos han hecho necesaria la modificación del tipo de actividad=
es
que se proponen en el aula. En Costa Rica, en 2012, se aprobó una reforma
curricular de los Programas de Estudio de Matemática, en todos los niveles
educativos de la educación preuniversitaria, y se planteó como una de sus
directrices, para el desarrollo de la lección, el uso de estrategias
metodológicas diversas, a saber: uso de la tecnología, inserción de la his=
toria
de la matemática, resolución de problemas, modelización y contextualización
activa (Ministerio de Educación Pública [MEP], 2012).
Esta ref=
orma
conlleva un cambio no solo en la forma de planificar las clases, sino tamb=
ién
en la manera en que se desarrollan y evalúan. De manera particular, en este
artículo se ejemplifican parte de esos cambios, en el proceso que se llevó=
a
cabo para el diseño de un material didáctico, para la enseñanza de la func=
ión
lineal y de la función cuadrática, en décimo año de la educación pública
costarricense, esto debido a la escasez de material acorde con la propuesta
curricular actual, y que en pruebas nacionales estandarizadas, estas temát=
icas
se clasifican en un nivel intermedio de dificultad, es decir que la propor=
ción
de las respuestas correctas oscila entre 40% y 60% (MEP, 2015).
En =
esta
investigación se asume, como fundamentación teórica, algunas fases del
Análisis Didáctico propuesto por el Grupo de Investigación Pensamiento
Numérico de la Universidad de Granada, las estrategias para la valoración =
de
tareas matemáticas de Ruiz (2017) y los Programas de Estudio de Matemática=
del
MEP (2012). A continuación, se detallan cada uno de ellos.
El
Análisis Didáctico es un método de investigación propio de la Didáctica de=
la
Matemática, cuya finalidad radica en fundamentar, dirigir y sistematizar la
planificación de materiales didácticos que organizan y transmiten
conocimientos matemáticos (Rico y Fernández, 2013).
Dic=
ho
análisis trabaja de lo complejo a partes más simples, empleando un sistema
cíclico de cinco categorías: análisis conceptual, análisis de contenido,
análisis cognitivo, análisis de instrucción y análisis evaluativo.
Contemplando que las primeras dos categorías son una sola, ya que ambas
proponen establecer qué conocimientos se consideran dentro del currículo y=
en
este artículo se le llamará análisis de contenido (Rico y Fernández, 2013).
Adicionalmente, para efectos de esta investigación solo se detallarán los
subanálisis correspondientes al proceso de elaboración del material didáct=
ico,
a saber: análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de instrucci=
ón.
El
análisis de contenido se centra en el contenido matemático, permite analiz=
ar,
describir y establecer los diferentes significados que tienen las nociones
involucradas en el tema. Es decir, este análisis se centra en el estudio
detallado del concepto matemático que es objeto de planificación. Gómez (2=
007)
considera que para el desarrollo del análisis de contenido el profesor debe
hacer uso de tres organizadores del currículo: la estructura conceptual
(relaciones entre conceptos y procedimientos), los sistemas de representac=
ión
y el análisis fenomenológico (vinculación de los conceptos y las estructur=
as
matemáticas con ciertos fenómenos del mundo natural, cultural, social y
científico).
Por=
otra
parte, el análisis cognitivo trata de organizar el para qué y hasta dónde
aprender determinados conocimientos sobre un tópico (Rico y Fernández, 201=
3).
Es decir, este análisis se centra en los estudiantes a los cuales se dirig=
e el
proceso de enseñanza. Se lleva a cabo a través de tres organizadores:
expectativas de aprendizaje, dificultades en el aprendizaje y oportunidade=
s de
aprendizaje (tareas mediante las cuales se reta al estudiante a dar respue=
sta
a diversas cuestiones con el propósito de lograr el aprendizaje y la
superación de los errores relativos al tema).
Finalmente, el último subanálisis a
considerar en la elaboración de un material didáctico es el análisis de instrucción. Gómez (2007) c=
ita
que este corresponde al “procedimiento en virtud del cual el profesor puede
analizar y seleccionar las tareas disponibles para el diseño de las
actividades de enseñanza y aprendizaje” (p. 75); es decir, se centra
propiamente en el profesor, en el proceso que debe seguir para diseñar,
seleccionar y secuenciar las tareas para la enseñanza y aprendizaje de los
contenidos matemáticos.
=
En
cuanto al análisis de tareas, se adopta, en primera instancia, el criterio=
de
Marín (2013), quien menciona que se debe tomar en cuenta la redacción, la
resolución y las demandas cognitivas. Asimismo, menciona que se deben
considerar las variables de tarea que se estudian en el marco del Proyecto
PISA, las cuales según Rico (2011) son: contenido matemático, el tipo de
situación o contexto, las competencias específicas (denominadas procesos
matemáticos dentro de los Programas de Estudio del MEP) y la complejidad
cognitiva. La situación o contexto, según Rico (2011), ubica la tarea en un
contexto que dependiendo del grado de cercanía de esta con el estudiantado=
se
pueden distinguir diversas categorías, a saber: contexto personal, contexto
ocupacional, contexto público o social y contexto científico.
En el contexto personal podrían ser tareas
relacionadas con las compras, los juegos, el transporte, los deportes, los
viajes, las propias finanzas, etc. Para el contexto ocupacional, laboral o
profesional se incluyen aquellas tareas que tienen aspectos en el cálculo =
de
costos y pedido de materiales para la construcción, la arquitectura,
optimización de recursos, compras y ventas. En los contextos públicos o
sociales podrían ser: sistemas electorales, las políticas públicas, la
demografía, la publicidad, los medios de comunicación, las estadísticas
nacionales, la economía, etc. Finalmente, en el contexto científico, como =
la
meteorología o el clima, la ecología, la medicina, las ciencias espaciales=
, la
genética, las mediciones.
Asi=
mismo,
se aceptó la diferenciación que realiza Ruiz (2017) para el contexto
científico. Este autor plantea que los problemas que se desarrollan
enteramente en el mundo de la Matemática se excluyan de ese contexto. Por =
lo
que, crea un nuevo contexto denominado: Contexto matemático, el cual se centra exclusivamente en conceptos y procedimientos que no salen del
seno de la Matemática.
Por
otro lado, Marín (2013) menciona que para establecer los procesos matemáti=
cos
(razonar
y argumentar, plantear y resolver problemas, comunicar, representar y cone=
ctar) q=
ue
se nutren con la resolución de cada tarea, como parte de su análisis se de=
be
simular la resolución de la tarea como si la hiciera un o una estudiante y
trabajar sobre una lista hipotética de acciones. Con esto se determinan cu=
áles
de esas acciones corresponden con las descripciones de los procesos
matemáticos. En el caso de esta investigación, se utilizó como documento de
comparación la “Estructura de Intervención de los Procesos en un Problema”
propuesta por Ruiz (2017), en la cual se establecen 61 indicadores para
determinar a qué proceso matemático contribuye una determinada tarea, así =
como
el grado en que se propicia. Siendo el grado uno el menos complejo y el gr=
ado
tres el más complejo.
Otra de las variables que se debe conside=
rar
en el análisis de una tarea es su nivel de complejidad (reproducción, cone=
xión
o reflexión). Para determinar esta variable, Ruiz (2017) propone cinco
criterios, asociados a los procesos matemáticos que se ponen en juego en la
resolución de una tarea matemática. De manera general, establece que el ni=
vel
de complejidad de una tarea en la que predominan procesos matemáticos de g=
rado
uno es de reproducción, de grado dos de conexión y cuando prevalecen índic=
es
de grado tres es de reflexión.
Complementariamente, como uno de los objetivos es que el mate=
rial
didáctico esté acorde al currículo de matemática actual se deben conocer s=
us
fundamentos teóricos y directrices metodológicas. Estos programas se divid=
en
en habilidades, competencia, procesos, ejes disciplinares, actitudes y
creencias.
De manera específica, para la problemática de esta investigac=
ión,
en la tabla 1 se muestran las habilidades que se deben desarrollar, en déc=
imo
año, en relación con la función lineal y función cuadrática.
Tabla 1. Habilidades específicas para la función linea=
l y
función cuadrática, en décimo año
|
C= onocimiento<= o:p> |
Habilidades específicas<= /b><= o:p> |
|
Función
lineal |
1)
Representar gráficamente una función lineal. 2) Determinar la pendiente,=
la intersección
con el eje de las ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma
gráfica o algebraica. 3) Determinar la ecuación de una recta utilizando
datos relacionados con ella. 4) Plantear y resolver problemas en context=
os
reales utilizando la función lineal. |
|
Función
cuadrática |
1) Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática=
con
criterio |
![](3D"file6721_files/image002.png")
=
![](3D"file6721_files/image004.png")
=
![](3D"file6721_files/image006.png")
=
![](3D"file6721_files/image008.png")
=
Nota: Elaboración propia con base en los Programas de Estudio=
de
Matemática del MEP (2012).
Por otro lado, el MEP (2012) distingue dos tipos de etapas en=
la
ejecución de una clase, las cuales se diferencian por los propósitos de en=
señanza
y aprendizaje. En la primera etapa se da el aprendizaje de conocimientos,
mientras que en la etapa dos se da la movilización y aplicación de los
conocimientos, así como un refuerzo y ampliación del papel de los aprendiz=
ajes
adquiridos. Finalmente, se debe mencionar que el MEP (2012) propone un est=
ilo
de organización de la lección, que sigue cuatro pasos o momentos centrales=
, a
saber: 1) propuesta de un problema, 2) trabajo estudiantil independiente, =
3)
discusión interactiva y comunicativa y 4) clausura o cierre. Estos momento=
s no
se desarrollan, necesariamente, en un único momento, sino que pueden divid=
irse
en varias clases.
Este
estudio se enmarca en las investigaciones en didáctica de la matemática; es=
una
investigación cualitativa basada en las investigaciones de diseño, consider=
ando
dentro de esta los experimentos de enseñanza, los cuales son una secuencia =
de
actividades de aula, cuidadosamente elaboradas en relación con un contenido
específico (Molina, M; Castro, Encarnación; Molina, J.L.; y Castro, Enrique;
2011).
Para la preparación del experimento se siguieron los aspectos
establecidos en los análisis de contenido, cognitivo y de instrucción. Para
efectos del análisis de contenido se recurrió a la revisión de libros de te=
xto,
tanto de educación secundaria como universitarios, a las habilidades propue=
stas
en el currículo de matemática que se encuentra en vigor, materiales de
capacitación del MEP, unidades didácticas relacionadas con los tópicos en
estudio e investigaciones previas. Esta fase repercutió en un listado de
conceptos, notaciones, procedimientos, distintos tipos de representación y
algunas aplicaciones.
Con el objetivo de ampliar la información relacionada con los =
usos
que tienen ambas funciones (lineal y cuadrática), se recurrió a la aplicaci=
ón
de una entrevista semiestructurada. La entrevista se aplicó a tres integran=
tes
del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, quienes cuen=
tan
con experiencia docente, uno de ellos solo a nivel universitario, y los otr=
os
dos tanto en educación secundaria como en educación universitaria, además,
conocen con profundidad los Programas de Estudio de Matemática vigentes. Las
preguntas versaron sobre cómo desarrollar una clase relacionada con la func=
ión
lineal y la función cuadrática acorde con lo propuesto en el currículo actu=
al
de Matemática.
Para=
el
caso del análisis cognitivo, se utilizaron dos cuestionarios, con los cuales
fue posible ampliar las dificultades y errores que se reportan en la
literatura, para el caso del estudiantado de Costa Rica, en el aprendizaje =
de
la función lineal y la función cuadrática.
Los
participantes a los cuales se les aplicó el primero de los cuestionarios fu=
eron
treinta docentes de Matemática de educación secundaria, de las regiones
educativas Heredia y San José Central. En ese instrumento se les presentaba=
las
habilidades específicas para cada una de las funciones y una serie de
procedimientos o conocimientos requeridos para la consecución de cada
habilidad, debían indicar la frecuencia (siempre, casi siempre, algunas vec=
es,
casi nunca, nunca) con que sus estudiantes lograban realizarlos.
El s= egundo de los cuestionarios se diseñó considerando algunas de las habilidades propuestas en el actual currículo de matemática; consistió en una serie de ejercicios y problemas, relacionados con las funciones en cuestión, y se ap= licó a 76 estudiantes de décimo año, de una institución educativa de Alajuela. <= o:p>
Para el análisis de instrucción, se utilizaron algunas de las
pautas que dieron los miembros del Proyecto Reforma de la Educación Matemát=
ica
(entrevista semiestructurada), las habilidades propuestas en los Programas =
de
Estudio de Matemática del MEP y los datos obtenidos en el análisis de conte=
nido
y en el análisis cognitivo. En el análisis de las tareas, se tomaron en cue=
nta
diversas variables: conocimientos previos, habilidades que se incentivan co=
n la
elaboración de la tarea, contenido matemático, sistemas de representación,
dificultades y errores, contexto, procesos matemáticos que se nutren, y
complejidad de la tarea. Para las
primeras cuatro variables se recurrió a lo determinado en el análisis de
contenido y para establecer los errores y dificultades se recurrió a lo
elaborado en el análisis cognitivo. Mientras que, para las tres últimas
variables se utilizó lo establecido por Marín (2013) y Ruiz (2017) en el ma=
rco
teórico de esta investigación.
Para la distribución del tiempo asignado a cada etapa, se tomó
como referencia la distribución propuesta, en conjunto, por el MEP y Proyec=
to
Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica (2014), quienes sugieren q=
ue
el estudio de la función lineal se realice en diez lecciones de cuarenta
minutos, de las cuales se dediquen tres a la primera etapa; sin embargo, en
este trabajo se dedicaron cuatro lecciones a la primera etapa, esto debido =
a la
extensión y riqueza de las tareas propuestas. Mientras que para la función
cuadrática estiman que esta temática se aborda en un total de once leccione=
s,
de las cuales cuatro se deben utilizar en el desarrollo de la primera etapa=
.
Por otro lado, se elaboró una rúbrica para la valoración del
material didáctico, basada en los elementos que debe tener una tarea, según
Marín (2013). Los ítems de valoración versaron sobre si las tareas propicia=
ban
el uso de distintas representaciones, si la redacción de cada tarea era cla=
ra,
si se hacía un uso adecuado del lenguaje matemático, sino se inclinaban solo
hacia lo algorítmico, si la secuenciación de las tareas era idónea, si el
tiempo asignado en la planificación concuerda con la realidad de aula, si
utilizaran el material en sus clases, qué aspectos cambiarían, entre otros.=
La
valoración fue realizada por seis profesores de educación secundaria, con u=
na
experiencia promedio de dieciocho años, y tres integrantes del Proyecto Ref=
orma
de la Educación Matemática en Costa Rica.
Finalmente, se hizo una puesta en escena con dos grupos de décimo añ=
o de
educación secundaria y con un grupo de estudiantes universitarios. A raíz de
ello, se hicieron cambios en la redacción de algunos de los ítems con el fi=
n de
que cumplieran con el objetivo planteado.
A continuación, se presentan algu=
nos
de los resultados obtenidos producto del análisis de contenido, análisis
cognitivo y análisis de instrucción sobre la función lineal y función
cuadrática. La
revisión de libros de texto, como parte del análisis de contenido, evidenc=
ió
que a pesar de que la mayoría de los libros de texto de Matemática utilizan
dentro de la definición de función lineal la representación algebraica, es=
tas
se mostraban de forma muy diversa. En algunos casos añadían conceptos
relacionados con variables dependientes e independientes; en otros casos,
mencionaban dentro de la definición su representación gráfica, e incluso
algunos evidenciaban falta de precisión al definir correctamente el domini=
o de
una función lineal, al indicar que siempre debe ser ![](3D"file6721_files/image010.png")
. <=
/span>
Par=
a el
caso de la función cuadrática, se encontró que en algunas ocasiones no
definían de manera adecuada el dominio y en otros casos ni se definía. Al
mismo tiempo, en las definiciones de esta función recurren únicamente a la
representación algebraica![](3D"file6721_files/image012.png")
, se
excluye la representación algebraica que se expresa con las coordenadas del
vértice o la que utiliza a las intersecciones en el eje de las abscisas (ver figura 1). En ambas funciones, se obtuvieron
las diversas notaciones, representaciones, definiciones, conceptos,
procedimientos y temas que se relacionan con los tópicos estudiados. A man=
era
de ejemplo, en la figura 1 se muestra el caso de la función cuadrática.
![3D"función](3D"file6721_files/image014.png")
Figura 1. Esque=
ma
resumen del análisis de contenido de la función cuadrática.
Nota: Extraída de Fernández, Morales y Quesada (201=
8)
Por otro lado, como parte del
análisis cognitivo, los resultados obtenidos en los cuestionarios aplicados
tanto al profesorado como al estudiantado evidenciaron que los errores más
frecuentes están relacionados con aquellos originados por deficiencias en =
el
manejo de conceptos, contenidos y procedimientos (Alpízar, Fernández, Mora=
les
y Quesada, 2018, 2019). Algunos de ellos responden a la falta de dominio de
aspectos conceptuales, como lo es la diferenciación entre los términos
abscisas y ordenadas. Así como hay errores en aspectos que no pertenecen
directamente a la función lineal y la función cuadrática, pero que forman
parte de los conocimientos previos de acuerdo a los Programas de Estudio de
Matemática del MEP; ejemplo de esta situación es errar al efectuar operaci=
ones
básicas en el conjunto de los números reales, principalmente, en la aplica=
ción
de las leyes de signos y en la jerarquización de las operaciones; en
resolución de ecuaciones lineales y de ecuaciones cuadráticas, y ubicación=
de
pares ordenados en el plano cartesiano.
Mientras que en relación con las
dificultades, la mayoría de los docentes señalaron que una de las principa=
les
dificultades se presenta cuando se les solicita a los estudiantes el
planteamiento de problemas que se puedan modelar con las funciones en cues=
tión,
este tipo de habilidad es una novedad dentro del actual currículo de
matemática, por ende, si el estudiantado no se ha ejercitado en la elabora=
ción
de situaciones problema es muy difícil que al llegar al ciclo diversificado
pueda plantearlas, aunque domine conocimientos relacionados.
De manera particular, en el caso =
de
la función lineal, la mayoría de los docentes afirman que los estudiantes
tienen dificultades en actividades como la identificación de modelos linea=
les,
la interpretación del concepto de pendiente y en el planteamiento y resolu=
ción
de problemas. Mientras que en la función cuadrática la principal dificulta=
d se
presenta en la determinación de los intervalos de monotonía y de su ámbito=
.
En cuanto al análisis de instrucc=
ión,
para la función lineal se elaboraron nueve tareas. En algunos casos se
requirió adaptar tareas preexistentes en libros de texto de educación
secundaria y en, otros documentos como, artículos de investigación y divul=
gación;
adaptarlas implicó realizar modificaciones para que cumplieran con las
habilidades propuestas en los Programas de Estudio de Matemática, para que
abarcaran los diversos sistemas de representación detectados en el análisi=
s de
contenido o para exponer a los estudiantes ante situaciones, que fueron
detectadas, con gran grado de dificultad o propensas al error, según el
análisis cognitivo.
De las tareas obtenidas, para la
función lineal, cinco tienen un nivel de complejidad de conexión, dos de
reflexión y dos de reproducción. Además, se determinó en cuál de las dos
etapas, que conllevan las clases de Matemática según los Programas de Estu=
dio
del MEP, se debe utilizar cada una de ellas.
En la figura 3 se muestra una de =
las
tareas y posteriormente su respectivo análisis. En esta tarea se puede
evidenciar el rol que juegan los sub-análisis
realizados. La tarea propicia el uso de distintas representaciones de la
función lineal, y la interpretación de la pendiente, además muestra un eje=
mplo
de una función lineal cuyo dominio es un conjunto discreto.
![3D"Interfaz](3D"file6721_files/image016.png")
Figura 2. Tarea relacionada con la función lineal.
Nota: Extraída de Fernández, Morales y Quesada (201=
8)
Asi=
mismo,
para cada una de las tareas se realizaron distintas formas de solución, co=
n el
fin de obtener los diversos caminos de aprendizaje que pueden tomar los y =
las
estudiantes en la resolución de ellas, los conocimientos previos que son
necesarios y los errores o dificultades que pueden aparecer durante el cam=
ino.
A manera de ejemplo, en la figura 4 se muestran las soluciones posibles a =
la
tarea que aparece en la figura 3.
![3D"Interfaz](3D"file6721_files/image018.png")
Figura 3. Posibles soluciones a la tarea “Televisión
Satelital”.
Nota: Extraída de Fernández, Morales y Quesada (201=
8)
A c=
ontinuación,
se presenta una tabla con el estudio de las variables (Rico, 2011) que
estuvieron inmersas en la tarea presentada, estas fueron definidas en el m=
arco
teórico de este artículo. En esta tabla también se evidencia el uso de las
fases del análisis didáctico. Para las variables de conocimientos previos,
habilidades específicas, otras habilidades y dificultades, se requiere del
análisis de cognitivo; mientras que, para las variables contenido matemáti=
co y
sistemas de representación se requiere el análisis de contenido. Finalment=
e,
para los contextos, procesos y complejidad se requiere del análisis de
instrucción.
Tabla 2. Análisis de las variables involucradas en la
resolución de la tarea “Televisión satelital”.
|
Va= riables analizadas<= o:p> |
Aspectos determinados |
|
C=
onocimientos
previos |
a. U=
bicación
de pares ordenados. b. R=
esolución
de ecuaciones lineales. c. F=
unciones
con dominio discreto o continuo. d. C=
oncepto
de pendiente. |
|
H=
abilidades
específicas de la función lineal en décimo año. |
a. =
R=
epresentar
gráficamente una función lineal. b. =
D=
eterminar
la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de las absci=
sas
de una recta dada, en forma gráfica o algebraica. |
|
S=
istemas
de representación |
Verbal, tabular, algebraica y gráfica |
|
S=
ituación/contexto |
P=
ersonal |
|
P=
rocesos |
a.
Representar – Grado 2 – Involucra pasar=
de
una representación Matemática a otra en la resolución de problemas. b.
Razonar y argumentar – Grado 2 – Debe
brindar información que no está dada de manera explícita en la resolución
del problema. c.
Plantear y resolver problemas – Grado 1=
–
En la resolución del problema se involucra la utilización de algoritmos =
de
resolución de ecuaciones lineales y la fórmula de la pendiente. |
|
D=
ificultades/
Errores |
a. M=
al
empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas en el
conjunto de los números reales. b. E=
rror
al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números reales. c. E=
rror
al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de ecuaciones linea=
les. d. =
A=
plica
incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer e. U=
bicación
incorrecta de pares ordenados. f. =
D=
ada la
representación algebraica de una función lineal traza una parábola como =
su
representación gráfica. g. E=
rror
al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en cuenta el
dominio de esta. |
|
C=
omplejidad |
Conexión |
![](3D"file6721_files/image020.png")
=
![](3D"file6721_files/image022.png")
=
Nota: Extraída de Fernández, Morales y Quesada (201=
8)
De manera similar al caso de la función lineal, para la función cuadrática=
se
elaboraron ocho tareas. Tres de las tareas son del nivel de complejidad de
conexión, dos de reproducción y tres de reflexión. Para las cuales también=
se
realizó el análisis de las variables involucradas en cada una de ellas.
Para efectos del material didáctico se elaboraron descripcion=
es
de cómo debe abordarse cada tarea en el aula, de acuerdo con la etapa a la=
que
pertenezcan. Además, cuál debe ser su secuenciación y el tiempo aproximado
requerido en ellas, así como los recursos necesarios para su ejecución. Co=
mo
ejemplo, en la tabla 3 se ilustran estos aspectos para el desarrollo de las
primeras lecciones relacionadas con el estudio de la función cuadrática.
Tabla 3.
Planificación de la etapa uno de la función cuadrática
|
Etapa 1: Aprendizaje de conocimientos<= o:p> |
Tiempo estimado: 2 lecciones |
|
Contenidos matemáticos |
Ecuaciones cuadráticas |
|
Relación con conocimientos previos |
Es la primera etapa relacionada con la función cuadrática, = se plantea una tarea de modelación matemática, con la que se busca, a travé= s de una hoja de cálculo, un criterio algebraico que sirva de modelo de la situación dada. Se requiere de conocimientos previos relacionados con el análisis de información presente en una representación tabular, del cálc= ulo de imágenes y preimágenes y de la resolución de ecuaciones cuadráticas.<= o:p> |
|
Tareas asociadas |
Tarea 1 |
|
Interacción |
En parejas, estudiante- estudiante, en la etapa final
estudiantes – docente. Se sugiere que sea el docente el que forme las
parejas para que no haya estudiantes excluidos. |
|
Momentos de clase |
En concordancia con lo establec=
ido
en el Programa de Estudios de Matemática, la organización de la lección
estará dividida en cuatro momentos centrales. En el primero de ellos se
propondrá a los estudiantes la resolución de la tarea 1, posteriormente =
se dará
un espacio para el trabajo estudiantil independiente. Se espera que al f=
inal
de la clase se realice una discusión de los resultados obtenidos en la
resolución de la tarea, que comente aplicaciones que tiene la función
cuadrática en diversos contextos y defina formalmente la función cuadrát=
ica. Una propuesta de definición es la siguiente: “Si |
![](3D"file6721_files/image024.png")
=
![](3D"file6721_files/image026.png")
=
![](3D"file6721_files/image028.png")
=
![](3D"file6721_files/image030.png")
=
![](3D"file6721_files/image032.png")
=
Nota: Extraída de Fernández, Morales y Quesada (201=
8)
En e=
ste
estudio se muestra una articulación entre los elementos teóricos del anális=
is
didáctico, las estrategias para la valoración de tareas de Ruiz (2017) y las
indicaciones metodológicas de los Programas de Estudio de Matemática (PEM) =
del
MEP (2012). Esta articulación permitió la elaboración de un material didáct=
ico,
conformado por 17 tareas para la enseñanza de la función lineal y de la fun=
ción
cuadrática, acorde con las directrices metodológicas del MEP.
El p=
roceso
de elaboración de este material didáctico se puede sintetizar en una serie =
de
pasos a seguir para su consecución, los cuales se pueden generalizar para el
diseño de tareas relacionadas con las habilidades de otras áreas de los PEM.
Estos pasos se consideran como un insumo importante de la investigación
realizada y por ende se describen a continuación las pautas a seguir para la
elaboración de un material didáctico fundamentado teóricamente y acorde con=
el
currículo actual.
El p=
rimer
paso es efectuar una revisión exhaustiva de los PEM, una lectura sobre las
habilidades específicas que forman parte del tema a desarrollar, aquellas q=
ue
se desarrollaron de manera previa (en temas o niveles anteriores), los proc=
esos
cognitivos que se deben propiciar y las sugerencias de evaluación, con el f=
in
de conocer cómo se va a desarrollar dicha temática.
Una
segunda fase tiene como objetivo determinar todos los conceptos,
procedimientos, sistemas de representación y situaciones en los que se util=
izan
los temas a desarrollar, con el objetivo de que estos sean utilizados en los
distintos ítems que compondrán las tareas. Este aspecto responde al análisi=
s de
contenido, y se puede llevar a cabo con la búsqueda en diversas fuentes como
libros de textos, tanto de educación secundaria como universitarios, en tes=
is,
actas de congresos, y revistas científicas, con el fin de determinar las
definiciones y desarrollo del tema en estudio. Por último, se recomienda ha=
cer
un esquema (mapa conceptual) con la información encontrada, con el fin de
visualizar de forma general aspectos relacionados con los conceptos, repres=
entaciones,
aplicaciones, esto con el fin de ordenar las ideas. Con la puesta en escena=
del
material didáctico este esquema se irá nutriendo de otros objetos, debido a=
que
podrían aparecer elementos que no se consideraron desde la planificación, p=
or
ello se menciona que este tipo de análisis es cíclico.
Adem=
ás, se
debe dotar de sentido a los contenidos matemáticos; es decir, relacionarlos=
con
situaciones en las que tiene utilidad el contenido matemático, en la medida=
de
lo posible en la vida cotidiana. Este punto es señalado tanto en el análisis
didáctico como el currículo que está en vigor, por lo cual requiere de espe=
cial
atención. Se recomienda buscar en artículos de investigación sobre modelaci=
ón
matemática, en tesis, en sitios web confiables, libros de textos de diferen=
tes
niveles educativos, etc. En las fuentes mencionadas, no siempre se encontra=
rá
una situación problema como tal, pero el docente debe utilizar la informaci=
ón,
que podría ser simplemente una fórmula o un conjunto de datos, y con base en
ella plantear las situaciones.
No
obstante, la persona docente puede utilizar algunos contextos con fines
meramente didácticos; es decir, que el problema plantee ítems con los que se
busca determinar la compresión de un concepto o se propicia el desarrollo de
algún proceso cognitivo, pero sin que necesariamente respondan a la solució=
n de
un problema real.
Por =
otra
parte, el análisis cognitivo establece que se deben determinar, de manera
hipotética o empírica, cuáles son los errores y dificultades que podrían
enfrentar los estudiantes en la resolución de tareas matemáticas. En contra=
ste
con esta parte teórica, considerando que la determinación hipotética de los
errores y dificultades pueden depender de la experiencia docente, se recomi=
enda
complementarlos con una búsqueda en sitios web de investigaciones relaciona=
das
con este aspecto. La importancia de este punto radica en que se tendrá una =
idea
del tipo de ítems que se deben incluir en las tareas, con el fin de exponer=
a
los estudiantes ante esas situaciones consideradas como limitaciones de
aprendizaje.
Fina=
lmente,
se puede destacar que si bien el proceso de elaboración del material didáct=
ico
que se reporta en este escrito fue extenso, y que quizá en la realidad de a=
ula,
de algunos y algunas docentes de educación secundaria, no sea posible reali=
zar
todas las fases en cada temática, los elementos descritos brindan orientaci=
ones
que podrían permitirles la realización de algunas de las fases comentadas, y
con la puesta en práctica de ellas ir mejorándolas y ampliándolas, y así es=
tar
en concordancia con los requerimientos metodológicos que se solicitan en el
currículo actual de Matemática del MEP y contribuir con el proceso de enseñ=
anza
y aprendizaje de los estudiantes en educación secundaria.
Alpízar, M., Fernández, H., Morales, J.L. y Quesada, S. (2018).
Dificultades y errores presentes en estudiantes de educación secundaria en =
el
aprendizaje de la función lineal. R=
evista
de Investigación y Divulgación en Matemática Educativa (RIDEME), 9(1), 6-19.
Alpízar, M., Fernández, H., Morales, J.L. y Quesada, S. (2019)=
. <=
span
style=3D'mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-font-family:Cal=
ibri;
mso-bidi-theme-font:minor-latin'>Limitaciones de aprendizaje que evidencian
estudiantes de educación secundaria en el estudio de la función cuadrática<=
/span>. Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa (ALME), 32(1), 12=
1-130.
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